Significado de la Progresión Geométrica (PG)

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Es una secuencia numérica en la que cada término, a partir del segundo, es el resultado de multiplicar el término anterior por una constante q, llamada la proporción PG.

Ejemplo de progresión geométrica

La secuencia numérica (5, 25, 125, 625…) es un PG creciente, donde q=5. Es decir, cada término de ese PG, multiplicado por su proporción (q=5), resulta en el siguiente término.

Fórmula para encontrar la proporción (q) de un PG

Dentro del creciente PG (2, 6, 18, 54…) hay una razón constante (q) aún desconocida. Para descubrirlo, uno debe considerar los términos de PG, donde: (2=a1, 6=a2, 18=a3, 54=a4,…an), aplicándolos en la siguiente fórmula:

q= a2/a1

Por lo tanto, para averiguar la razón de este PG, la fórmula se desarrollará de la siguiente manera: q= a2/a3 = 6/2 = 3.

La proporción (q) del PG anterior es de 3.

Dado que la razón de un PG es constante, es decir, común a todos los términos, podemos trabajar en su fórmula bajo diferentes términos, pero siempre dividiéndola por su predecesor. Recordando que la proporción de un PG puede ser cualquier número racional, excluyendo el cero (0).

Ejemplo: q=a4/a3, que dentro del PG anterior también se encuentra como resultado q=3.

Fórmula para encontrar el término general de PG

Hay una fórmula básica para encontrar cualquier término de un PG. En el caso de PG (2, 6, 18, 54, an…), por ejemplo, donde un que puede ser nombrado como un quinto o nto término, o a5, es todavía desconocido. Para encontrar este u otro término, se utiliza la fórmula general:

an=am (q)n-m

Ejemplo práctico – Fórmula de término general de PG desarrollada

Se sabe que:

an es cualquier término desconocido que se encuentre;

am es el primer término de PG (o cualquier otro término si el primer término no existe);

q es la razón de PG;

Por lo tanto, en PG (2, 6, 18, 54, an…) donde se busca el quinto término (a5), la fórmula se desarrollará de la siguiente manera:

an=am (q)n-m

a5=a1 (q)5-1

a5=2 (3)4

a5=2,81

a5= 162

Así, se descubre que el quinto término (a5) de PG (2, 6, 18, 54, an…) es = 162.

Es importante recordar que es importante encontrar la razón de un PG para encontrar un término desconocido. En el caso del PG anterior, por ejemplo, la razón ya se conocía como 3.

Clasificaciones de progresión geométrica

Progresión geométrica creciente

Para que un PG se considere creciente, su proporción siempre será positiva y sus términos crecientes, es decir, aumentando dentro de la secuencia numérica.

Ejemplo: (1, 4, 16, 64…), donde q=4

En el crecimiento de PG con términos positivos, q > 1 y con términos negativos 0 < q < 1.

Progresión geométrica descendente

Para que un PG se considere decreciente, su proporción siempre será positiva y diferente de cero y sus términos disminuirán dentro de la secuencia numérica, es decir, disminuirán.

Ejemplos: (200, 100, 50…), donde q= 1/2

En la disminución de PG con términos positivos, 0 < q < 1 y con términos negativos, q > 1.

Progresión geométrica oscilante

Para que un PG se considere oscilante, su proporción será siempre negativa (q < 0) y sus términos alternarán entre negativo y positivo.

Ejemplo: (-3, 6, -12, 24,…), donde q = -2

Progresión geométrica constante

Para que un PG se considere constante o estacionario su proporción será siempre igual a uno (q=1).

Ejemplo: (2, 2, 2, 2…), donde q=1.

Diferencia entre la progresión aritmética y la progresión geométrica

Al igual que el PG, el PfA también se constituye a través de una secuencia numérica. Sin embargo, los términos de un AP son el resultado de la suma de cada término con su proporción (r), mientras que los términos de un PG, como se ejemplificó anteriormente, son el resultado de multiplicar cada término por su proporción (q).

Ejemplo:

En el BP (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…) la proporción (r) es 2. Es decir, el primer término añadido a r 2 resulta en el siguiente término y así sucesivamente.

En PG (3, 6, 12, 24, 48, …) la proporción (q) es también 2. Pero en este caso el término es multiplicado por q 2, resultando en el siguiente término y así sucesivamente.

Ver también el significado de Progresión Aritmética.

Significado práctico de un PG: ¿dónde se puede aplicar?

La Progresión Geométrica permite el análisis del declive o crecimiento de algo. En términos prácticos, el PG permite analizar, por ejemplo, las variaciones térmicas, el crecimiento de la población, entre otros tipos de controles presentes en nuestra vida cotidiana.